Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四边形AEPF的面积=△ABC的面积的一半，④当EF最短时，EF=AP，上述结论始终正确的个数为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根据等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△AEP和△CPF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面积相等求出S四边形AEPF=S△APC，然后解答即可．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵点P为BC的中点，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．

∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．

在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△APC，∴S四边形AEPF=S△ABC，根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，此时，EF最短；故①②③④正确．

故选D．