Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F．

（1）若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的长；
（2）证明：AM=CF+DM．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD，△BCD的是等边三角形，

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°，BA=BC，

∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB+∠DAM，

∴∠DAM=∠DMA=30°，

∴∠BAM=90°，DA=DM=AB=BC=CE=3，

在△BMA和△BMC中，

，

∴△BMA≌△BMC，

∴∠BCM=∠BAM=90°，

在Rt△BCE中，BE= =3 ．

（2）解：如图2中，在BD上取一点G，使得BG=DF，连接CG交BE于O．

∵BG=DF，∠CBG=∠BDF，BD=BC，

∴△GBC≌△FDB，

∴∠BGC=∠BFD，∠DBF=∠BCG，

∴∠MGC=∠BFC，

∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°

在△COE中，∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°，

在△BCF中，∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，

∵CB=CE，

∴∠CBE=∠CEO，∵∠BCF=∠COE=60°，

∴∠ECO=∠BFC=∠MGC，

∴MC=MG，

由（1）可知△BMA≌△BMC，

∴AM=MC=MG，

∵MG=DG+DM，

∵BD=CD，BG=DF，

∴DG=CF，

∴AM=CF+DM

【解析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的性质可得出△BCE是等腰直角三角形，即可求出BE的长；（2）证两线段之和等于一条线段可采取“截长补短法“，即在长线段BM上截取BG=DF，构造全等三角形△GBC≌△FDB，可推出CF=DG，再结合已知AM=CM=MG，得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．