Question

【题目】如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。

（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AG∥DE，∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS）
（2）解：①证明：∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°
【解析】（1）由平行线的性质得到内错角相等，根据全等三角形的判定方法AAS，得到△AGF≌△DEF；（2）由角的和差得到∠ABF=∠DEF；由（1）得到全等三角形的对应边、对应角相等，根据SAS，得到△ABC≌△DEC，得到对应边、对应角相等，由角的和差求出∠AFG的值.