Question

【题目】对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如下图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

（1）分别判断函数（）和（）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；

（2）如果函数（）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；

（3）若函数（）是以3为上确界的有上界函数，求值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＜0）不是有上界函数；y=2x-3（x＜2）是有上界函数，上确界是1；（2）-1≤a＜1；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据有界函数函数的定义和上确界定义分析即可；

（2）根据函数的上确界和函数增减性得到2-a=b，函数的最小值为2-b，根据b＞a，函数的最小值不超过2a+1，列不等式求解集即可；

（3）根据对称轴方程x=a和上确界为3，分类讨论a≤3时和a＞3时，列方程求解．

试题解析：（1）根据有界函数定义，y=（x＜0）不是有上界函数；y=2x-3（x＜2）是有上界函数，上确界是1；

（2）∵在y=-x+2中，y随x的增大而减小，

∴上确界为2-a，即2-a=b，

又b＞a，所以2-a＞a，解得a＜1，

∵函数的最小值是2-b，∴2-b≤2a+1，得a≤2a+1，解得a≥-1，

综上所述：-1≤a＜1；

（3）函数的对称轴为x=a，

①当a≤3时，函数的上确界是25-10a+2=27-10a，

∴27-10a=3，解得a=，符合题意；

②当a＞3时，函数的上确界是1-2a+2=3-2a，

∴3-2a=3，解得a=0，不符合题意．

综上所述：a=．