Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（-2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．

（1）求E的坐标；

（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；

（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1) 点E的坐标为（2，4）；(2) ；(3) 点P的坐标为：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．

【解析】

试题分析：（1）作EF⊥AB，根据已知，可得出OD=6，FB=4，OF=2，然后，根据相似，即可求出EF的长，即可得出点E的坐标；

（2）作点D关于x轴的对称点D′，则D′的坐标为（0，-6），根据两点间的距离公式，算出即可；

（3）设点P（0，y），y＞0，分三种情况，①PC=BC；②PB=BC；③PB=PC；解答出即可；

试题解析：（1）作EF⊥AB，

∴，

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AE=BE，

∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，

∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），

∴点D的坐标为（0，6），

∴OD=6，FB=4，OF=2，

∴，

∴EF=4，

∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，

点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，-6），

CD′与x轴的交点为M，

∴此时，MC+MD=CD′为最小值，

∴CD′=；

（3）设点P（0，y），y＞0，

分三种情况，①PC=BC；

∴42+（6-y）2=22+62，

解得，y=6±；

②PB=BC；

∴62+y2=22+62，

解得，y=2，y=-2（舍去）；

③PB=PC；

∴62+y2=42+（6-y）2，

解得，y=；

综上，点P的坐标为：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．