Question

【题目】有两张相同的矩形纸片ABCD和A′B′C′D′，其中AB=3，BC=8．

（1）若将其中一张矩形纸片ABCD沿着BD折叠，点A落在点E处（如图1），设DE与BC相交于点F，求BF的长；

（2）若将这两张矩形纸片交叉叠放（如图2），判断四边形MNPQ的形状，并证明．四边形MNPQ的最大面积是_________.（直接写出结果）

Answer 1

【答案】①BF=②

【解析】试题分析：

（1）由折叠的性质结合AD∥BC易得∠FBD=∠ADB=∠FDB，由此可得BF=DF，设BF=x，结合DE=AD=BC=8，可得EF=8-x，结合BE=AB=3，在Rt△BEF中由勾股定理建立方程即可求得BF的值；

（2）①如图3，过点Q作QE⊥PN于点E，过点N过NF⊥PQ于点F，则易证△QEP≌△NFP，从而可得PQ=PN，由已知条件易证四边形MNPQ是平行四边形，两者结合即可得到四边形MNPQ是菱形；

②如图4，由题意可知，菱形MNPQ边上的高是3，故当边长越长时，面积越大，由题意可知，当点M与点A重合、点P与点C重合时，边长MQ=AQ=QC，此时面积最大，在Rt△ABQ中，由勾股定理建立方程解出MQ的长，即可求得最大面积了.

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=8，

∴∠ADB=∠DBC，

由折叠的性质可知，∠ADB=∠FDB，BE=AB=3，DE=AD=8，

∴∠DBC=∠FDB，

∴BF=DF，

设BF=x，则DF=x，

∴EF=8-x，

∵在Rt△BEF中，BF2=BE2+EF2,

∴，解得： ；

（2）①如图2，四边形MNPQ是菱形，理由如下：

过点Q作QE⊥PN于点E，过点N过NF⊥PQ于点F，

∴∠PEQ=∠PFN=90°，

∵两张纸条等宽，

∴NF=QE，

∵∠NPF=∠QPE，

∴△QEP≌△NFP，

∴PQ=PN，

∵由题意可得：MN∥PQ，MQ∥NP，

∴四边形MNPQ是平行四边形，

∴四边形MNPQ是菱形；

②如图4，由题意和①可知，菱形MNPQ边上的高是3，故当菱形MNPQ的边长越长时，其面积越大，由图4可知，当点M与点A重合、点P与点C重合时，边长MQ=AQ=QC，此时面积最大，

设AQ=QP=a，则BQ=BC-QC=8-a，

∵在Rt△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2，

∴，解得： ，

∴菱形MNPQ的最大面积为： .