Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC、AD．
（1）求证：OC=AD；
（2）求OC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△AOB是边长为2的等边三角形，

∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，

又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，

∴△DCB也是边长为2的等边三角形，

∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，

又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴OC=AD；

（2）解：∵△AOB与△BCD是边长为2的等边三角形，

∴BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，

∴∠BOC=∠BCO=30°，

∴∠OCD=90°．

∵OD=4，CD=2，

∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得

OC= = =2 ．

【解析】（1）根据等边三角形的性质，可得OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，根据旋转的性质，可得∠OBC=∠ABD，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据旋转的性质，可得BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，根据等腰三角形的性质，可得∠OCB的度数，根据勾股定理，可得答案．
【考点精析】利用等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．