Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+4

（2）

解：∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），

∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m；

点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，

令4=﹣ m2﹣ m+4，解得m=﹣2或0，

即m的取值范围：﹣2＜m＜0，

PG的长度为：﹣ m2﹣ m（﹣2＜m＜0）

（3）

解：在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．

∵y=﹣ x2﹣ x+4，

∴当y=0时，﹣ x2﹣ x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．

设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k= ，

∴直线BD的解析式为y= x+4，

∴H（m， m+4）．

分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 = ，

解得m=﹣3或﹣1，

由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 = ，

由﹣2＜m＜0，解得m=﹣ ．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣ ．

【解析】（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣ x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），则PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y= x+4，于是得出H（m， m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．