Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，

∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+3．

∵B（3，0）在直线BC上，

∴3k+3=0．

解得k=﹣1．

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C，

∴

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）解：由y=x2﹣4x+3．

可得D（2，﹣1），A（1，0）．

∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，CB=3 ．

如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

∴AF= AB=1．

过点A作AE⊥BC于点E．

∴∠AEB=90度．

可得BE=AE= ，CE=2 ．

在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，

∴△AEC∽△AFP．

∴ ， ．

解得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，

∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．

（3）解：解法一：

如图2，

作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（﹣1，0）．

连接A'C，A'D，

可得A'C=AC= ，∠OCA'=∠OCA．

由勾股定理可得CD2=20，A'D2=10．

又∵A'C2=10，

∴A'D2+A'C2=CD2．

∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，

∴∠DCA'=45度．

∴∠OCA'+∠OCD=45度．

∴∠OCA+∠OCD=45度．

即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．

解法二：

如图3，连接BD．

同解法一可得CD= ，AC= ．

在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，

∴DB= ．

在△CBD和△COA中， ， ， ．

∴ ．

∴△CBD∽△COA．

∴∠BCD=∠OCA．

∵∠OCB=45°，

∴∠OCA+∠OCD=45度．

即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．

【解析】直线y=kx向上平移3个单位与y轴交于C，可知C（0，3）代入抛物线解析式即可求出b、c；（2）由∠APD=∠ACB可构造△AEC∽△AFP，由对应边成比例可求出PF，进而求出P坐标；（3）求两角和可转化某一个角然后这两者再相加组成一个角，可由△CBD∽△COA可得出 ∠BCD=∠OCA，∠OCA+∠OCD=∠BCD=45度.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．