Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线l：y= x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．
①当m＞0时，在线段AC上否存在点P，使得点P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC= ，即C（0， ），

设抛物线解析式为 ，

将A（﹣3，0），B（1，0）代入得 ．

解得 ．

∴

（2）

解：由题意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，

（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴

∴∠PQD=∠EOD=90°，

∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ与△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m，

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m+ =3，

∴ ；

（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，

同理可得CQ=EQ=OD= ，

∴OC=m+ = ，

∴ ；

（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD= ，PN=DM= ，CN=

∴AC= + + = ，

∴ ；

②当x=0，y= 时， =0+m，解得m= ；

当x=0，y=﹣ 时，﹣ =0+m，解得m=﹣ ．

故m的取值范围为：

【解析】（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根据三角函数可得C（0， ），根据待定系数法可求抛物线解析式；（2）①由题意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况：（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴；（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴；（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；进行讨论可求点P的坐标；②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面，并且与前面的直线平行，可求m的取值范围．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．