Question

【题目】问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

（1）填空：①∠AEB的度数为；②线段BE、AD之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AD=BE
（2）

①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，

∴∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，

∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°

∴∠ACD=∠ECB，

∴在△ACD与△BCE中有

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°，

故∠AEB的度数为90°；

②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，

∴DM=DE（三线合一）

∴CM= DE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM，

即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM

【解析】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°，
故答案为：60°，AD=BE；
（1）根据已知条件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度关系求得∠AEB=60°；（2）同（1）可证：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM= DE，进而可求得线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．