Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．

（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC．

∵OB=OC，∠B=30°，

∴∠OCB=∠B=30°，

∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，

∵∠BDC=30°，

∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，

∵BC是弦，

∴点C在⊙O上，

∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点；

（2）解：∵AB=2，

∴OC=OB= =1，

∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，

∴DC= OC= .

【解析】（1）连接OC，根据已知易证明∠COD=60°,再利用三角形内角和定理求出∠DCO的度数，即可证得DC⊥OC，根据切线的判定定理即可证得结论。
（2）根据已知求出OC的长，然后在Rt△COD中，利用解直角三角形求出DC的长即可。