Question

【题目】（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE ≌△AFG，从而得出什么结论．

（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（结论应用）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 此时两舰艇之间的距离为180海里．

【解析】

试题问题背景：将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置后，AE=AG，DG=BE，∠EAF＝∠FAG=60°，利用SAS证明△AFE ≌△AFG即可得出结论；探索延伸：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，通过SAS可证得△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠FAG=60°，于是△AEF≌△AGF．EF=FG．所以FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD仍然成立．结论应用：连接EF，∵∠AOB＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A＋∠B＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，即结论EF＝AE＋FB成立．因为AE=80，FB=100，于是求出此时两舰艇之间的距离EF．

试题解析：问题背景：将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置后，AE=AG，DG=BE，∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝60°，∠EAG＝120°，所以∠FAG=60°，∠EAG＝∠FAG，所以△AFE ≌△AFG（SAS）， ∴EF=FG．∵FG＝DG＋DF，所以EF＝BE＋FD．探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，因为AB=AD，∠B＝∠ADG＝90°，所以△ABE≌△ADG，所以 ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，所以∠EAG＝∠FAG=60°，所以△AEF≌△AGF（SAS）．∴EF=FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．结论应用：连接EF，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A＋∠B＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．因为BF=50×2=100，AE=40×2=80， 所以此时两舰艇之间的距离EF＝AE＋FB=80+100=180海里，即此时两舰艇之间的距离为180海里．