Question

【题目】如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PAPB；
（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直径，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴ = ，

∴PT2=PAPB．

（2）∵TP=TB= ，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB= = ，

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等边三角形，

∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT= ﹣ 12= ﹣

【解析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解决问题；（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理和扇形面积计算公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．