Question

【题目】在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动. 已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）.

（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1：过点A作AM⊥CD于点M，
∵∠BCD=90°，
即BC⊥CD，
∴AM∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCM为平行四边形，
∵∠BCD=90°，
∴平行四边形ABCM为矩形，
∵AB=AD=10cm，BC=8cm，
∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，
在Rt△ADM中，
∴DM==6cm,
∴CD=CM+MD=10+6=16cm.

（2）解：如图2：
∵运动时间为t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
又∵四边形PBQD为平行四边形，
∴PB=DQ，
∴10-3t=2t，
∴t=2，
∴PB=DQ=4cm，
由（1）知CD=16cm，
∴CQ=12cm，
又∵BC=8cm，∠BCD=90°，
在Rt△BCQ中，
∴BQ==4cm，
∴CPBQD=2（PB+BQ）=2×（4+4）=8+8（cm）.


（3）解：①当P在AB上时，如图3，
∵运动时间为t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴03t10，
∴0t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
∴S△BPQ=.BP.BC=×（10-3t）×8=20，
∴t=.

②当P在BC上时，如图4，
∵运动时间为t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴103t18，
∴t6，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=3t-10，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴S△BPQ=.BP.CQ=×（3t-10）×（16-2t）=20，
∴3t2-34t+100=0，
∴△=342-4×3×100=-440，
∴从方程无解.

③当P在CD上时，若点P在点Q的右侧，如图5，
∵运动时间为t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CQ-CP=（16-2t）-（3t-18）=34-5t，
∴，
∴6t.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（34-5t）×8=20，
∴t=6（不合题意，舍去）.

④当P在CD上时，若点P在点Q的左侧，如图6，
∵运动时间为t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CP-CQ=（3t-18）-（16-2t）=5t-34，
∴，
∴t8.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（5t-34）×8=20，
∴t=.

综上所述：当t=秒或秒时，△BPQ的面积为20cm2.

【解析】（1）如图1：过点A作AM⊥CD于点M，由∠BCD=90°，AB∥CD得出四边形ABCM为矩形，在Rt△ADM中，根据勾股定理求出DM=6cm，
从而求出CD=CM+MD=10+6=16cm.
（2）如图2：由题意得出AP=3t，DQ=2t，PB=AB-AP=10-3t，由平行四边形的性质求出t的值，从而得出PB=DQ=4cm，再由勾股定理求出
BQ的值，从而求出四边形PBQD的周长.
（3）根据题意分四种情况讨论：①当P在AB上时，如图3；②当P在BC上时，如图4；③当P在CD上时，若点P在点Q的右侧，如图5；④当P在CD上时，若点P在点Q的左侧，如图6；根据题意画出符合所有条件的图形，再由三角形的面积列出方程，求出符合范围的数值即可.