Question

【题目】如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证： ；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ，

∴PC=4，PD=2 ，

∵CD⊥PQ，

∴∠PQC=∠PQD=90°，

∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，

在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，

在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD，

∴ = = = ，

即 = ．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），

∴cos∠CPQ= ，

∴∠CPQ=60°，

∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2 ，PQ=2，

∴sin∠PDQ= ，

∴∠PDQ=45°，

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，

又∵CD⊥PQ，

∴∠PQD=90°，

∴PD是⊙O2的直径，

∴∠PBD=90°，

∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，

答：∠E的度数是75°

【解析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出 = ，代入求出即可；（2）求出cos∠CPQ= ，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．