Question

【题目】如图是以定长AB为直径的⊙O，CD为上的一条动弦（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．

（1）求证：AF=BE；

（2）若弦CD的长度保持不变，四边形CDEF的面积是否也保持不变？并请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形CDEF的面积保持不变．

【解析】

试题分析：（1）作OM⊥CD于M，根据垂径定理得到CM=DM，根据平行线等分线段定理证明结论；

（2）根据梯形中位线定理和梯形的面积公式解答即可．

（1）证明：作OM⊥CD于M，

则CM=DM，

∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，

∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，

∴OF=OE，又OA=OB，

∴OA﹣OF=OB﹣OE，即AF=BE；

（2）∵弦CD的长度保持不变，

∴弦心距OM的长度保持不变，

由（1）得，OM是梯形CDEF的中位线，

∴OM=（CF+DE），

∵四边形CDEF的面积=OM×CD，

∴四边形CDEF的面积保持不变．