Question

【题目】如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R.

（1）求证：DP=CG；

（2）判断△PQR的形状，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△PQR为等腰三角形，理由见解析．

【解析】

（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．

（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．

（1）证明：在正方形ABCD中，

AD＝CD，∠ADP＝∠DCG＝90°，

∠CDG＋∠ADH＝90°，

∵DH⊥AP，∴∠DAH＋∠ADH＝90°，

∴∠CDG＝∠DAH，

∴△ADP≌△DCG，

∵DP，CG为全等三角形的对应边，

∴DP＝CG．

（2）△PQR为等腰三角形．

∵∠QPR＝∠DPA，∠PQR＝∠CQE，CQ＝DP，由（1）的结论可知

∴CQ＝CG，∵∠QCE＝∠GCE，CE＝CE，

∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE＝∠CGE，

∴∠PQR＝∠CGE，

∵∠QPR＝∠DPA，

∴∠PQR＝∠QPR，

所以△PQR为等腰三角形．