Question

【题目】如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。

∴∠DOF=90°。

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）。∴∠CDO=90°。

∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。

∴四边形CDOF是矩形。

（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。

又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形。

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。

【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DOF=90°，根据等腰三角形的性质三线合一，得到∠CDO=90°，再由CF⊥OF，得到四边形CDOF是矩形；（2）根据正方形的判定方法有一组临边相等的矩形是正方形，当∠AOC=90°时OD=DC，得到四边形CDOF是正方形.
【考点精析】本题主要考查了正方形的判定方法的相关知识点，需要掌握先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角才能正确解答此题．