Question

【题目】已知函数是关于x的二次函数，求：

(1)满足条件m的值。

(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?

(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．

Answer 1

【答案】(1) (2)m=2,（0,0） (3)见解析

【解析】试题分析：

(1) 对照题目中所给出的二次函数解析式与二次函数的一般形式容易得到m的取值需要满足的条件. 综合考虑能够同时满足这些条件的m的取值即可.

(2) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向上时有最低点，且抛物线的开口方向由(m+2)的符号确定. 利用这一规律可以得到满足题意的m的取值范围，再结合第(1)小题的结论即可确定m的取值. 利用m的取值可以得到二次函数的具体解析式，不难得到抛物线最低点的坐标. 根据二次函数的图象与性质易知，抛物线开口向上时，在对称轴右侧y随x的增大而增大.

(3) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向下时有最大值. 仿照第(2)小题的思路即可得解.

试题解析：

(1) 对照该函数解析式与二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a≠0)可知，m的取值应该同时满足下列两个条件：

，

解上述不等式，得 m≠-2，

解上述一元二次方程，得 m1=2，m2=-3，

因此，满足条件的m值为2或-3.

(2) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2>0时，抛物线开口向上，有最低点.

故m的取值应该满足：m+2>0，即m>-2，

结合第(1)小题的结论得，当m=2时，抛物线有最低点.

当m=2时，二次函数的解析式为：y=4x2，故该抛物线最低点的坐标为(0, 0).

由于二次函数y=4x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向上，故当x>0时y随x的增大而增大.

综上所述，当m=2时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0, 0)；当x>0时，y随x的增大而增大.

(3) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2<0时，抛物线开口向下，有最大值.

故m的取值应该满足：m+2<0，即m<-2，

结合第(1)小题的结论得，当m=-3时，抛物线有最大值.

当m=-3时，二次函数的解析式为：y=-x2，

故当x=0时，该抛物线取得最大值，最大值为0.

由于二次函数y=-x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向下，故当x>0时y随x的增大而减小.

综上所述，当m=-3时，抛物线有最大值，最大值为0；当x>0时，y随x的增大而减小.