Question

【题目】
【合作学习】

如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y= （k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”
针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，

而OD=3，DE=2，

∴E点坐标为（2，3），

∴k=2×3=6，

∴反比例函数解析式为y= （x＞0）；

②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，

∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），

∴F点坐标为（2+a，3﹣a），

把F（2+a，3﹣a）代入y= 得（2+a）（3﹣a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），

∴F点坐标为（3，2）

（2）

解：①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：

假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，

∴A点坐标为（5，3），

∴F点坐标为（5，1），

而5×1=5≠6，

∴F点不在反比例函数y= 的图象上，

∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；

②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．

∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，

∴AE：OD=AF：DE，

∴ = ，

设AE=3t，则AF=2t，

∴A点坐标为（2+3t，3），

∴F点坐标为（2+3t，3﹣2t），

把F（2+3t，3﹣2t）代入y= 得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，

∴AE=3t= ，

∴相似比= = = ．

【解析】（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y= ；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3﹣a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3﹣a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y= 的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即 = ，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3﹣2t），利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，则AE=3t= ，于是得到相似比= = ．