Question

【题目】如图，直线y1=﹣ x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；
（3）在抛物线上的对称轴上：是否存在一点M，使|MA﹣MC|的值最大；是否存在一点N，使△NCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，

，解得： ，

∴二次函数的关系式为y=﹣ x2+ x+2

（2）解：如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，

设M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+ a+2），

∴PM=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴点D的坐标为：（ ，0），

∵S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB= BDOC+ PMCE+ PMBN，

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+ ，

∴a=2时，S四边形PCDB的面积最大= ，

∴﹣ a2+ a+2=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴点P坐标为：（2，3），

∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为

（3）解：如图2中，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴直线AC的解析式为y=2x+2，直线AC与对称轴的交点即为点M，此时|MA﹣MC|的值最大，

∴M（ ，5）．

∵抛物线的对称轴是x= ，

∴OD= ，

∵C（0，2），

∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= = ，

∵△CDN是以CD为腰的等腰三角形，

∴CN1=DN2=DN3=CD．

如图2所示，作CE⊥对称轴于E，

∴EN1=ED=2，

∴DN1=4．

∴N1（ ，4），N2（ ， ），N3（ ，﹣ ）．

【解析】（1）根据x轴上点的坐标是（x，0），y轴点的坐标是（0，y），直线y1=﹣ x+2与x轴，y轴分别交于B，C，得到点B（4，0）、C（0，2），由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0），用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由抛物线的对称轴与x轴交于点D，得到点D的坐标（ ，0），由S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB ，得到点P坐标（2，3），所以当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为 ；（3）由A（﹣1，0），C（0，2），代入得到直线AC的解析式为y=2x+2，直线AC与对称轴的交点即为点M，此时|MA﹣MC|的值最大，得到M（ ，5），抛物线的对称轴是x=，得到OD= ，由C（0，2），得到OC=2；在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=，由△CDN是以CD为腰的等腰三角形，得到CN1=DN2=DN3=CD，如图2所示，作CE⊥对称轴于E，得到EN1=ED=2，DN1=4，所以N1（ ，4），N2（ ，），N3（ ，﹣ ）；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.