Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°则AB的长为____________.

Answer 1

【答案】

【解析】首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证△ABM≌△ECM，则AM=EM=1，AN=2，且∠MAN=60°，求得AH，NH与EH的长，从而求得NE的长，则可求得答案.

解：（解法一）延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，

∵ABCD为平行四边形

∴AB∥CE，

∴∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，

∵M为BC的中点，

∴BM=MC，

∴△ABM≌△ECM，

∴AB=CD=CE，AM=EM=2，

∵N为DC的中点，

∴NE=3NC=AB，即AB=NE，

∵AN=2，AE=2AM=4，且∠MAN=60°，

∴∠AEH=30°，

∴AH=AE=2，

∴EH=，

∴NH=AH-AN=2-1=1，

∴EN=，

∴AB=.

解法二：延长DC和AM交于E，根据平行四边形的性质可得出∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，可证明△ABM≌△ECM，则AM=EM=2，由N为边DC的中点，得NR=3NC=1.5AB，AB=NE，由余弦定理可解得EN，从而得出AB即可.

解：延长DC和AM交于E，

∵ABCD为平行四边形

∴AB∥CE，

∴∠BAM=∠MEC，∠ABM=∠ECM，

∵M为BC的中点，

∴BM=MC，

∴△ABM≌△ECM，

∴AB=CD=CE，AM=EM=2，

∵N为DC的中点，

∴NE=3NC=1.5AB即AB=NE，

∵AN=2，AE=2AM=4，且∠MAN=60°，

由余弦定理EN2=AE2+AN2-2AE×ANcos60°=16+1-2×4×=13，

∴EN=,

∴AB=.

故答案为： .

“点睛”本题考查了平行线的性质、勾股定理以及三角形的中位线定理，是中考常见的题型，难度偏大.