Question

【题目】如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（图2，图3为解答备用图）．

（1）k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；

（2）S四边形ABMC=9；

（3）当m=时，S四边形ABDC最大，此时D（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）将C点坐标代入抛物线解析式可求k的值，由抛物线解析式求A，B两点坐标；

（2）根据A、B、M、N四点坐标，将四边形分割为两个三角形和一个梯形求面积；

（3）只要使△DBC面积最大即可，由此求D点坐标；

试题解析：（1）将C（0，﹣3）代入抛物线y=x2﹣2x+k中，得k=﹣3，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

令y=0，得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

故答案为﹣3，（﹣1，0），（3，0）；

（2）如图（1），

过M点作MN⊥AB，垂足为N，

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，可知M（1，﹣4），

∴S四边形ABMC=S△ACO+S梯形OCMN+S△BMN=×1×3+×（3+4）×1+×（3﹣1）×4=9；

（3）存在，如图（2），

设D（m，m2﹣2m﹣3），

过D点作DE⊥AB，垂足为E，则

S四边形ABDC=S△ACO+S梯形OCDE+S△BDE

=×1×3+×[3﹣（m2﹣2m﹣3）]×m+×（3﹣m）×[﹣（m2﹣2m﹣3）]

=﹣m2+m+6，

∵﹣＜0，

∴当m=﹣=时，S四边形ABDC最大，此时D（，﹣）．