Question

【题目】如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA于点D．

（1）求证：CD为⊙O的切线．

（2）若DC+DA=6，AE=26，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB=24．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；

（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM=13﹣DA，利用勾股定理求出AD的长，即可求出AM的长，从而求出AB的长．

（1）证明：连接OC．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC．

∵CD⊥PA，

∴∠ADC=∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，点C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，AM=BM，

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，

∴四边形DMOC是矩形，

∴OC=DM，OM=CD．

∵AE=26，

∴AO=13，

∴OC=AO=13，

∴DM=13，

∴AM=13﹣DA，

∵DC+DA=6，

∴OM=CD=6﹣DA，

∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．

∴132=（6﹣DA）2+（13﹣DA）2，

∴DA=1或DA=18（舍去），

∴AM=13﹣1=12，

∴AB=2AM=24．