Question

【题目】如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC 于H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD.将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.如图②，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tan∠ACH＝3，则AE＝_____.

Answer 1

【答案】

【解析】在Rt△AHC中，由tan∠ACH＝3，可得＝3， 设CH＝x，则BH＝AH=3x，由BC=4， 可得 3x＋x＝4， 解得 x＝1.即可得AH＝3， CH＝1. 由旋转知：∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH. 所以∠EHA＝∠FHC， ＝1，即可判定△EHA∽△FHC，所以∠EAH＝∠C，即可得tan∠EAH＝tanC＝3 ，如图②，过点H作HP⊥AE于P，则HP＝3AP，AE＝2AP. 在Rt△AHP中，AP2＋HP2= AH2，∴AP2＋(3AP)2= 9，解得AP＝，所以AE＝.