Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE.

(1)猜想：∠B的度数，并证明你的猜想.

(2)如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积.

Answer 1

【答案】(1)∠B=30°，证明见解析；(2)S△ABD=6cm2.

【解析】

(1)根据已知条件得到AD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE，根据AD是△ABC的角平分线，求得∠DAE=∠DAC，于是得到∠B=∠DAE=∠DAC，列方程即可得到结论；

(2)根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE=BE，于是得到AB=2AE=2×3=6，即可得到结论.

解：(1)猜想：∠B=30°，

∵DE⊥AB且AE=BE，

∴AD=BD，

∴∠B=∠DAE，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE=∠DAC，

∴∠B=∠DAE=∠DAC，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°，

∴∠B=30°；

(2)∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AE=BE，

∴AB=2AE=2×3=6，

∴S△ABD=ABDE=×6×2=6cm2.