Question

【题目】如图．在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）已知AC=2，EB=4CE，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）10．

【解析】试题分析：（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；

（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．

试题解析：（1）证明：如图，连接BD．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD，∴∠ABC=2∠CAF．

（2）如图，连接AE，∴∠AEB=90°，设CE=x．∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2，∴BA=10．