Question

【题目】如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E，F点，则下列结论正确的有_____．

①MN=BM+DN

②△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；

③EF2=BE2+DF2；

④点A到MN的距离等于正方形的边长

⑤△AEN、△AFM都为等腰直角三角形．

⑥S△AMN=2S△AEF

⑦S正方形ABCD：S△AMN=2AB：MN

⑧设AB=a，MN=b，则≥2﹣2．

Answer 1

【答案】①②③④⑤⑥⑦．

【解析】

将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．证明△MAN≌△HAN，得到MN=NH，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN时，MN最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．证明△EAH≌△EAF，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．

将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．

则∠DAH=∠BAM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAN+∠DAN=45°，

∴∠NAH=45°，

在△MAN和△HAN中，

，

∴△MAN≌△HAN，

∴MN=NH=BM+DN，①正确；

∵BM+DN≥2，（当且仅当BM=DN时，取等号）

∴BM=DN时，MN最小，

∴BM=b，

∵DH=BM=b，

∴DH=DN，

∵AD⊥HN，

∴∠DAH=∠HAN=22.5°，

在DA上取一点G，使DG=DH=b，

∴∠DGH=45°，HG=DH=b，

∵∠DGH=45°，∠DAH=22.5°，

∴∠AHG=∠HAD，

∴AG=HG=b，

∴AB=AD=AG+DG=b+b=b=a，

∴，

∴，

当点M和点B重合时，点N和点C重合，此时，MN最大=AB，

即：，

∴≤≤1，⑧错误；

∵MN=NH=BM+DN

∴△CMN的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD，

∴△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍，②结论正确；

∵△MAN≌△HAN，

∴点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长AD，④结论正确；

如图2，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AD，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF2=BE2+DF2，③结论正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，

∴A、E、N、D四点共圆，

∴∠ADN+∠AEN=180°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM=AF，AN=AE，

如图3，过点M作MP⊥AN于P，

在Rt△APM中，∠MAN=45°，

∴MP=AMsin45°，

∵S△AMN=ANMP=AMANsin45°，

S△AEF=AEAFsin45°，

∴S△AMN：S△AEF=2，

∴S△AMN=2S△AEF，⑥正确；

∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，

∴S正方形ABCD：S△AMN==2AB：MN，⑦结论正确．

即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，

故答案为①②③④⑤⑥⑦．