Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=a，P为边BC上一动点（不与B、C重合），E是边BC延长线上一点，连结AP，过点P作PF⊥AP交∠DCE的平分线于点F，连结AF与边CD交于点G，连结PG．

猜想：线段PA与PF的数量关系为　 　．

探究：△CPG的周长在点P的运动中是否改变？若不改变求其值．

应用：若PG∥CF，当a=时，则PB=　 　．

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）猜想：PA=PF，在在BA边上截取BQ=BP，连接PQ，如图1：

通过证：∠BAP=∠CPF，∠AQB=∠PCF，AQ=CP证得△AQP≌△PCF，即可得到PA=PF；

（2）△CPG的周长在点P的运动中不改变，是一个定值；理由如下：

如图2，延长CB至M，使BM=DG，连接AM，先证△ABM≌△ADG，再证△PAM≌△PAG，从而可得：△CPG的周长= PG+PC+CG=PM+PC+CG=PB+BM+PC+CG

=PB+DG+PC+CG=BC+DC=2AB=2a；

（3）由PG∥CF可证得△PCG是等腰直角三角形，从而可得PC=GC，PG=PC，设PB= ，则PC=GC= ，PG=；结合（2）中结论可得： ，结合解此的方程，即可得到PB的值.

试题解析：

（1）猜想：PA=PF，理由是：

在BA边上截取BQ=BP，连接PQ，如图1：

可得△BPQ为等腰直角三角形，即∠BQP=45°，

∴∠AQP=135°，

又∵CF为直角∠DCE的平分线，

∴∠FCE=45°，

∴∠PCF=∠AQP=135°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，

∴AB﹣BQ=BC﹣BP，即AQ=PC，

∵PF⊥AP，

∴∠APF=90°，

∴∠APB+∠CPF=90°，

又∵∠APB+∠QAP=90°，

∴∠QAP=∠CPF，

在△AQP和△PCF中， ，

∴△AQP≌△PCF（ASA），

∴PA=FP；

故答案为：PA=PF；

探究：△CPG的周长在点P的运动中不改变，是一个定值；

如图2，延长CB至M，使BM=DG，连接AM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADG=90°，

∴△ABM≌△ADG，

∴∠GAD=∠BAM，AG=AM，

由（1）可得得：AP=PF，又∵AP⊥PF，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴∠PAG=45°，

∵∠BAD=90°，

∴∠GAD+∠BAP=45°，

∴∠BAM+∠BAP=45°，

∴∠MAP=∠PAG=45°，

又∵AP=AP，

∴△PAM≌△PAG，

∴PM=PG，

∴△PCG的周长=PG+PC+CG，

=PM+PC+CG，

=PB+BM+PC+CG，

=PB+DG+PC+CG，

=BC+DC，

=2a；

应用：如图3，∵PG∥CF，

∴∠PGC=∠GCF=45°，

∴△PCG是等腰直角三角形，

∴PC=CG，

设PB=x，则PC=CG=a﹣x，

由探究得：△PCG的周长=2a，

则PG+PC+CG=2a，

PC+2PC=2a，

(a﹣x)=2a，

把代入得：

解得： ，即PB=．