Question

【题目】在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM（如图1）．

（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM=PM，AM⊥PM．（2）成立，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可；

（2）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可．

试题解析：（1）连接CM，

∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，

∴∠MDQ=45°，

∴△DMQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

在△MDP与△MQC中

∴△MDP≌△MQC（SAS），

∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．

∵BD是正方形ABCD的对称轴，

∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，

∴∠AMP=180°-∠ADP=90°，

∴AM=PM，AM⊥PM．

（2）成立，

理由如下：

连接CM，

∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，

∴∠MDQ=45°，

∴△DMQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

在△MDP与△MQC中

∴△MDP≌△MQC（SAS），

∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．

∵BD是正方形ABCD的对称轴，

∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，

∴∠DAM=∠MPC，

∵∠PND=∠ANM

∴∠AMP=∠ADP=90°

∴AM=PM，AM⊥PM．