Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．
（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；
（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】
（1）解：延长BG交DE于点H，

在△BCG与△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，

∵∠BGC=∠DGH，

∴∠DHB=∠BCG=90°，

∴BG⊥DE

（2）解：BG=DE，BG⊥DE仍然成立

如图2，∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，

即∠BCG=∠DCE，

在△BCG与△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，

∵∠BHC=∠DHG，

∴∠BCD=∠DOB=90°，

即BG⊥DE

【解析】（1）延长BG交DE于点H，易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠DHB=90°；（2）易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠BCD=90°．
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．