Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD=∠E，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，

∴CD是圆O的切线

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠D=30°，AE=6，

∴AD=2AE=12，

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，

∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，

∴CD= = =4 ，

∴S△OCD= = =8 ，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°，

∴S扇形OBC= ×π×OC2= ，

∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC

∴S阴影=8 ﹣ ，

∴阴影部分的面积为8 ﹣ ．

【解析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．