Question

【题目】已知如图，矩形OABC的长OA= ，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．

（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y=﹣ x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OAC中，OA= ，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根据折叠的性质知：OA=AP= ，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

（2）

解：过P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP= ；

∴OQ=AQ= ，PQ= ，

所以P（ ， ）；

将P、A代入抛物线的解析式中，得：

，

解得 ；

即y=﹣ x2+ x+1；

当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图像上

（3）

解：①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，

∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，

把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（ ，1）

把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（﹣ ，0）

∴M（ ，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；

②若DE是平行四边形的边，

过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，

∴DE=AN= = =2，

∵tan∠EAN= ，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（ ，0），N（0，﹣1）；

同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，

∴M（﹣ ，0），N（0，1）．

【解析】（1）根据OC、OA的长，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折叠的性质），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判断出∠PCB的度数．（2）过P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的长，进而可得到点P的坐标，将P、A坐标代入抛物线的解析式中，即可得到b、c的值，从而确定抛物线的解析式，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）根据抛物线的解析式易求得C、D、E点的坐标，然后分两种情况考虑：
①DE是平行四边形的对角线，由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标；
②DE是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N点，而M点即为A点；易求得∠DEA的度数，即可得到∠NAO的度数，已知OA的长，通过解直角三角形可求得ON的值，从而确定N点的坐标，而M点与A点重合，其坐标已知；
同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，也可找到符合条件的M、N点，解法同上．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．