Question

【题目】如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

Answer 1

【答案】C．

【解析】

试题分析：根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．（根据等边三角形的性质可证∠DCB=60°，由三角形内角和外角定理可证∠DPC＞60°，所以DP≠DE）

解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本选项正确；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠QPC=60°=∠ACB，

∴PQ∥AE，故本选项正确；

③∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；

④已知△ABC、△DCE为正三角形，

故∠DCE=∠BCA=60°∠DCB=60°，

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°∠DPC＞60°，

故DP不等于DE，故本选项错误；

⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=60°，

故本选项正确．

综上所述，正确的结论是①②③⑤．

故选C．