Question

【题目】如图1，在ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.

　　　　

图1　　　　　　　　　　　　　　图2

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）直接利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出AF∥EC，即可得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出AO=FO，BO=EO，进而得出答案．

证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.

∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.

∴∠FAE＝∠CED.

∴AF∥EC.

又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，

∴∠AOE＝∠BEC＝90°.

∴∠AOE＝∠AOB＝90°.

在△ABO和△AEO中，

，

∴△ABO≌△AEO(ASA)．

∴BO＝EO.

同理可得△ABO≌△FBO，

∴AO＝FO.

∴四边形ABFE是平行四边形．

又∵AF⊥BE，

∴平行四边形ABFE是菱形．