Question

【题目】在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点Ａ顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED＝45°;③BE＋DC＝DE; ④BE＋DC＝DE，其中正确的是（　　　）

A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；

②由于∠ABC=45°，且∠AED=∠ABC+∠BAE=45°+∠BAE，而∠BAE不恒为零．可以判断是否正确；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；

④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠CAD+∠BAE=45°．

∴∠EAF=45°，

∴△AEF≌△AED；

故①正确；

②∵∠ABC=45°，且∠AED=∠ABC+∠BAE=45°+∠BAE

而∠BAE不恒为零．

故②不正确；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，

∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，

故③错误；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，

∴BE2+BF2=EF2，

∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，

∴△AFB≌△ADC，

∴BF=CD，

又∵EF=DE，

∴BE2+CD2=DE2，故④正确．

故选B．