Question

【题目】如图，直径AE平分弦CD，交CD于点G，EF∥CD，交AD的延长线于F，AP⊥AC交CD的延长线于点P．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=2，PD= CD，求tan∠P的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直径AE平分弦CD，

∴AG⊥CD（垂径定理）．

∵EF∥CD（已知），

∴∠AEF=∠AGD=90°．

∴EF是⊙O的切线．

（2）∵∠CAP=∠AGC=90°，∠ACG=∠PCA．

∴△CAG∽△CPA（AA）．

∴AC2=CGCP（相似三角形的对应边成比例）．

又∵PD= CD（已知），

CG=GD，

∴CG= PC．而AC=2，

∴22= PCPC，∴PC2=12．

又∵AC⊥AP，∴AP2=PC2﹣AC2（勾股定理），

∴AP= ．（13分）

∴tan∠P= ．

【解析】（1）要证EF是⊙O的切线，只需证明∠AEF=90°即可.（2）首先利用相似三角形判定定理证明△CAG∽△CPA，利用性质：对应边成比例，得到AC2=CGCP，求得PC2=12，在直角三角形APC中利用勾股定理求得AP的长度，进而利用三角函数的定义求tan∠P的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．