Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，点F为OE的延长线上一点且OC2=OD·OF.

（1）求证：CF为⊙O的切线.

（2）已知DE=2， .

①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①5②

【解析】试题分析：（1）连接OC，利用同圆的半径相等和直径所对的圆周角为直角，得∠OCF=90°，CF是 O的切线；（2）①设 O的半径为r，根据勾股定理列方程解出即可；②过点D作DG⊥OB,利用勾股定理分别求出DG,AG，即可求出sin∠BAD的值.

试题解析：

（1），∠COD是公共角

∴△COD∽△COF，

∴∠F=∠OCD，

又E是弧BC的中点，

∴∠COE=∠BOE，

∵OC=OB，

∴OD⊥BC

∴OD⊥BC，

∴CF为⊙O的切线.

（2）①，设BC=4x，

则AC=3x，AB=5x，OE=2.5x，

OD=1.5x，DE=x=2，2.5x=2.5；

∴⊙O的半径为5；

②作DG⊥OB于G，Rt△BOD中，DG=OD×BD÷OB，

∴DG=3×4÷5=，

Rt△ACD中，AC=6，AB=4，

∴AD=；

Rt△AGD中，sin∠BAD=DG÷AD=