Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF．
（1）求证：△DAC≌△ECP；
（2）填空： ①四边形ACED是何种特殊的四边形？
②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∵点C为AP的中点，

∴DC⊥AP，

∴∠DCA=∠DCP=90°，

∵AB是⊙O直径，

∴∠APB=90°，

∴四边形DEPC为矩形，

∴DC=EP，

在△DAC和△ECP中

，

∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，

∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，

∴AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形

②线段DF、AP的数量关系是DF= AP

【解析】②∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO，
∵AD∥CE，
∴∠ADO=∠DCF，
∴∠DAO=∠DCF，
∴A，C，F，D四点共圆，
∴ = ，
∴AC=DF，
∵AC= AP，
∴DF= AP，
所以答案是：DF= AP．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．