Question

【题目】如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得CM=BM，

∵∠PMC=∠DMB，

∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

∴DB=PC，

∴DB=2﹣m，AD=4﹣m，

∴点D的坐标为（2，4﹣m）

（2）

解：分三种情况

①若AP=AD，则4+m2=（4﹣m）2，解得 ；

②若PD=PA

过P作PF⊥AB于点F（如图），

则AF=FD= AD= （4﹣m）

又∵OP=AF，

∴

则

③若PD=DA，

∵△PMC≌△DMB，

∴PM= PD= AD= （4﹣m），

∵PC2+CM2=PM2，

∴ ，

解得 （舍去）．

综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为 或 或

（3）

解：点H所经过的路径长为 ；

理由是：∵P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），

∴0≤m＜2，

当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y=﹣x2+3x，

此时ME的解析式为y=﹣x+3，则∠MEO=45°，

又∵OH⊥EM，

∴△OHE为等腰直角三角形，

∴点O、H、B三点共线，

∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧 的长度，

∵∠COH=45°，

∴H转过的圆心角为90°，

∵OM= ，

则弧长= = = π．

【解析】（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2﹣m，AD=4﹣m，从而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点时，求解即可．