Question

【题目】如图1，正方形ABCD的顶点A在原点O处，点B在x轴上，点C的坐标为（6，6），点D在y轴上，动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度．
（1）探索AQ与BP有什么样的关系？并说明理由；
（2）如图2，当点P运动到线段AD的中点处时，AQ与BP交于点E，求线段CE的长．
（3）如图3，设运动t秒后，点P仍在线段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面积为S，试求S的最小值，及当S取最小值时∠DPF的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ⊥BP，AQ=BP，

理由：当点P在线段AD上时，

∵动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度，

∴DQ=AP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，

在△ADQ和△BAP中，

，

∴△ADQ≌△BAP（SAS），

∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，

又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，

∴∠ABP+∠BAQ=90°，

∴∠AEB=90°，

即AQ⊥BP；

当点P在AD的延长线上时，

同理可得，AQ=BP，AQ⊥BP

（2）解：如图2，延长AQ，BC交于点G，

当点P运动到线段AD的中点处时，AP=DQ= CD，

∴DQ=CQ，

又∵∠ADQ=∠GCQ=90°，∠AQD=∠GQC，

∴在△ADQ和△GCQ中，

，

∴△ADQ≌△GCQ（ASA），

∴AD=CG=BC，

即点C为BG的中点，

∵∠BEG=90°，

∴Rt△BEG中，EC= BG=BC=6

（3）解：运动t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，

∵△BPQ的面积S

=正方形ABCD的面积﹣△ABP的面积﹣△PDQ的面积﹣△BCQ的面积

=36﹣ ×6×t﹣ ×t（6﹣t）﹣ ×6×（6﹣t）

= （t﹣3）2+ ，

∴当t=3时，S取得最小值为 ，

且此时点P在AD的中点处，

∴DP=DQ=3，

在△DPF和△DQF中，

，

∴△DPF≌△DQF（SAS），

∴∠DPF=∠DQF，

∵Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，

∴tan∠DPF=2

【解析】（1）根据DQ=AP，AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，即可判定△ADQ≌△BAP（SAS），进而得出AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，再根据∠ABP+∠BAQ=90°，可得AQ⊥BP；（2）延长AQ，BC交于点G，先判定△ADQ≌△GCQ（ASA），得出AD=CG=BC，即点C为BG的中点，再根据Rt△BEG中，EC= BG=BC，可得EC=6；（3）运动t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6﹣t，根据△BPQ的面积=正方形ABCD的面积﹣△ABP的面积﹣△PDQ的面积﹣△BCQ的面积，可得S= （t﹣3）2+ ，进而得出当t=3时，S取得最小值为 ，此时点P在AD的中点处，可判定△DPF≌△DQF（SAS），进而得到∠DPF=∠DQF，根据Rt△DQA中，tan∠DQA= =2，即可得出tan∠DPF=2．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和正方形的性质，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．