Question

【题目】如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AECD=ADCE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AECD=ADCE，

∴ ，

∵∠DAB=∠B，

∴AD=BD，

∴ ，

∴DE∥AB；

（2）证明：∵BD是DF和AB的比例中项，

∴BD2=DFAB，

∵AD=BD，

∴AD2=DFAB，

∴ ，

∵DE∥AB，

∴∠ADF=∠BAD，

∴△ADF∽△DBA，

∴ =1，

∴DF=AF．

【解析】（1）根据已知条件得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DFAB，等量代换得到AD2=DFAB，推出 ，根据相似三角形的性质得到 =1，于是得到结论．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．