Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=°，∠D=°
（2）在探究等对角四边形性质时： 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD． 要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）140；75
（2）证明：如图2，连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）如图所示：

（4）解：分两种情况：

①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2 ，

∴AC= = =2 ；

②当∠BCD=∠DAB=60°时，

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：

则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM= AD=2，

∴DM=2 ，

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，

∵四边形BNDM是矩形，

∴DN=BM=3，BN=DM=2 ，

∵∠BCD=60°，

∴CN= ，

∴BC=CN+BN=3 ，

∴AC= =2 ．

综上所述：AC的长为2 或2 ．

故答案为：140，75．

【解析】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°， ∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握勾股定理的逆定理(如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形)的相关知识才是答题的关键．