Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E
（1）求证：DE=AB；
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°=∠B，

在△ABF和△DEA中

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴DE=AB；

（2）

解：∵BC=AD，AD=AF，

∴BC=AF，

∵BF=1，∠ABF=90°，

∴由勾股定理得：AB= = ，

∴∠BAF=30°，

∵△ABF≌△DEA，

∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG= ，

∴扇形ABG的面积= = π．

【解析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；
　　　　（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB= ，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求出即可．本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质和扇形面积计算公式，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）即可以解答此题．