Question

【题目】有如下一串二次根式：

①；②；③；④…

(1)求①，②，③，④的值；

(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；

(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第n个二次根式，并化简．

Answer 1

【答案】（1）3；15；35；63；（2）99；（3）(2n－1)(2n＋1)．

【解析】试题分析：

（1）根据平方差公式，把每个式子中的被开方数分解为两个因数的积，再按照进行化简即可；

（2）观察、分析（1）中四个式子化简变形的过程可知，这些式子变形后最后所得的二次根式的被开方数是： ，其中为正整数，将这个式子化为两个式子的平方差的形式为： ，由此即可写出第5个式子，再化简即可；

（3）由（2）可知第n个式子的被开方数为： ，由此即可写出第n个式子，再按前面的方法化简即可.

试题解析：

（1）①；

②；

③；

④；

（2）观察（1）中式子可得：第5个式子为： ，化简得：

；

（3）观察、分析前面5个式子可知，上述二次根式化简后所得的二次根式的被开方数可表示为： ，

∵，

∴第n个式子为： ，化简得：

.