Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E
（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE2=y，请求出y关于x的函数解析式．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠CBA=∠ACE，
∴△ACE∽△CBE；
（2）解：连接OC，
∵AB=8，∴OC=4，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=4，
根据勾股定理得：CE= ，
∵CE2=y，
∴y=﹣x2+16（0＜x＜4）．

【解析】（1）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AC与BC垂直，即三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由CD与AB垂直，得到三角形ACE与三角形BCE都为直角三角形，同理得到一对角互余，等量代换得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）连接OC，由AB垂直于CD，在直角三角形OCE中，由OE=x，OC=4，利用勾股定理表示出CE，代入CE2=y中，即可得到y关于x的函数解析式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．