Question

【题目】综合与实践：折纸中的数学

问题背景

在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．

操作发现

(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？

实践探究

(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？

(3)再探究：在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．

Answer 1

【答案】（1）矩形ABCD的长、宽之比为；（2）四边形EFGB′是平行四边形，理由详见解析；（3）△BB′G为直角三角形，理由详见解析．

【解析】

（1）矩形的长、宽之比应是．设，根据等边三角形的性质可得出，根据矩形的性质可得出，，再根据特殊角的三角函数值即可得出，，结合边与边之间的关系即可得出；

（2）四边形是平行四边形．根据矩形的性质可得出，从而得出相等的内错角“，，”，再由翻折的性质可得出，，由此即可得出，从而找出，由两组对边互相平行即可证出四边形是平行四边形；

（3）△为直角三角形．连接交于点，根据平行线的性质可得出，由翻折的性质可得出，从而可得出，再由等腰三角形的性质可得出，根据平行线的性质即可得出，由此即可证出△为直角三角形．

解：（1）矩形的长、宽之比应是．

证明：设，

等边三角形，

，

四边形为矩形，

，．

在中，，，，

，，

，

，

．

（2）四边形是平行四边形．

证明：四边形为矩形，

，

，，．

由翻折的特性可知：，，

，，

又，

，

，

又，

四边形是平行四边形．

（3）△为直角三角形．

证明：连接交于点，如图所示．

，

，

，

，

．

，

△为等腰三角形，

，

．

，

，

△为直角三角形．