Question

【题目】如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，

（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；

（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根据直角三角形定点和底边中点的连线等于底边的一半即可求解.

(2)求出DE⊥AB，再根据相关关系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的长.

（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，

∴CE=AB，DE=AB

∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；

（2）∵AD=BD，E为AB的中点，

∴DE⊥AB，

已知DE=4，EF=3，

∴DF=5，

过点E作EH⊥CD，

∵∠FED=90°，EH⊥DF，

∴EH==，

∴DH==，

∵△ECD是等腰三角形，

∴CD=2DH=．