Question

【题目】（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一组以OP所在直线为对称轴且一条边在OP上的全等三角形，并用符号表示出来；

（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系；

②如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）全等的依据是SAS；（2）BC=AC+AD；（3）AB=21．

【解析】

试题分析：（1）本题是用尺规作图作出两个全等的三角形：在OM、ON上截取相同长度的线段，在OP上任取一点A，构造全等三角形即可；

（2）如图2，截取CE=CA，连接DE，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ECD，推出△CAD≌△CED，根据全等三角形的性质得到AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，根据三角形的内角和得到∠B=30°，即可得到结论；

（3）截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，同理△ADC≌△AEC，根据全等三角形的性质得到AE=AD=9，CD=CE=10=CB，由CH⊥AB，CE=CB，得到EH=HB设EH=HB=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：（1）如图1，作图过程：以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，在射线OP上任取一点A（O点除外），连接AB，AC，

可得△AOB≌△AOC，

∵OB=OC，OA是公共边，OP是角平分线∠AOB=∠AOC，

∴全等的依据是SAS；

（2）如图2，截取CE=CA，连接DE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠ECD，

在△ACD与△ECD中，

，

∴△CAD≌△CED，

∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，

∵∠ACB=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴∠B=∠EDB=30°，

∴DE=EB=AD，

∴BC=AC+AD；

（3）截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，

同理△ADC≌△AEC，

∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，

∵CH⊥AB，CE=CB，

∴EH=HB，

设EH=HB=x，

在Rt△ACH和Rt△CEH中

172﹣（9+x）2=102﹣x2，

解得：x=6，

∴AB=21．